【量子科普】不可複製與不可刪除定理

最近因為論文關鍵字搜尋和維基探險故稍微研究了「不可刪除定理」,然後發現Wiki居然第二句話就犯了深奧幽微的錯誤「認為不可刪除定理是不可複製定理的時間反演」,而這個錯誤是只要真的讀過論文且思考的人都能避免(原始論文本身就強調了這點…),所以我打算分享並紀錄這x兩個量子計算的精妙定理,這些思路的數學技巧其實都不多,不過本文也會盡可能用精簡準確的方式說明,當然文章開始前先依照慣例:歡迎大家分享、轉發、留言、拍手讚賞(甚至捐款)XD

不可複製定理(No-cloning theorem

先從比較有名的不可複製定理開始說明,這源自於一個很簡單但是寓意深遠的問題:量子物理是否允許複製未知的量子態|\Psi>,也就是說給某個定白板量子態|0>和量子印表機輔助|C>(Copy machine),我們能某找到某個動作U

    \[U|\Psi>|0>|C> =|\Psi>|\Psi>|C>\]

答案很簡單就是不行.而這個不行本身保護了量子力學和量子通訊、卻也增加了量子電腦建造的難度:假設我們能夠對於未知的量子態大量複製,便可以透過不斷的測量獲得未知量子態的所有資訊(包含動量、位置等),這種最終可以繞過「不確定性原理」的行為基本上會直接拉倒整套量子力學,同時量子通訊(如BB84/E92)物理定律保障的安全性將不復存在;另一方面,沒有辦法複製未知量子態讓量子計算的糾錯(quantum error correction)變得非常困難,我們沒有辨法直接創造備份冗余來避免環境干擾或是操作誤差(量子糾錯後來是用巧妙的辦法創造冗余,所以理論上量子計算可以說是實驗物理的挑戰了).用更宏觀的視野來說,量子力學裡面的所有演化都是Unitary 矩陣,機率幅守恆說明資訊不能無中生有、也不能無冤無故消失(請參考量子黑洞資訊悖論),故不可複製定理是具有深刻物理意義的簡短數學證明.

    \[<C|<0|<\Phi|U^{\dagger} U|\Psi>|0>|C>= <C|<\Phi|<\Phi|\Psi>|\Psi>|C>\]

    \[\Rightarrow <\Phi|\Psi>= |<\Phi|\Psi>|^{2}\]

以上兩行「不可複製定理」計算指出複製的內在矛盾,因為這台可以任意複製的印表機居然只能夠複製兩個相同或是正交(也就是完全不相同)的量子態,結論和前提矛盾.

不可刪除定理(No-deleting theorem

    \[U|\Psi>|\Psi>|C> =|\Psi>|0>|C>\]

量子不可刪除定理絕對不是單純不可刪除定理的時間反演(上圖),Nature 再怎麼容易被炫砲的名詞迷惑也不會就放這種論文出刊.不可刪除定理是假設刪除的過程能把某些資訊排到輔助量子態(這邊就用垃圾桶Bin),是否就可以因此刪除不同的未知量子態,讓其還原成為白板量子態|0>

    \[U|H>|H>|B> =|H>|0>|B_{H}>\]

    \[U|V>|V>|B> =|V>|0>|B_{V}>\]

乍看之下這個思路好像有希望,因為資訊不沒有消失而是藏到輔助量子態裡面,所以量子不可復定理被反駁的理由和Unitary 矩陣特性在此都派不上用場.如果我們確實能在能夠刪除(格式化)未知量子態,那對於量子計算也是很有幫助,在懷疑某個未知量子位元出錯的情況就可以將它還原成白板狀態.當然這個結論比較幽微,不行刪除其實獲得SWAP.

先讓我們假設某兩個一樣的量子疊加態|\Psi>=\alpha|H>+\beta|V>,然後我們把這個量子態丟到刪除機器裡面看會發生什麼事情.

U|\Psi>|\Psi>|B>=U(\alpha|H>+\beta|V>)(\alpha|H>+\beta|V>)|B>

相等的左式右式分別演化

|\Psi>|0>|B_{\Psi}>=\alpha^{2}|H>|0>|B_{H}>+\beta^{2}|V>|0>|B_{V}>+\alpha\beta|\Phi>

這邊我們定義U(|H>|V>+|V>|H>)|B> =|\Phi>.然後注意到|\Phi>和疊加態係數\alpha\beta無關.所以比較等式之後我們就會得到

    \[|\Phi>=|H>|0>|B_{V}>+|V>|0>|B_{H}>\]

和最重要的關係式(注意以下量子態|B_{H}>|B_{V}>因為機率守恆必須正交)

    \[|B_{\Psi}>=\alpha|B_{H}>+\beta|B_{V}>\]

總而言之,我們認為所謂的刪除其實不是刪除,疊加態的資訊只是被SWAP到垃圾桶裡面,所以想用刪除來處理未知量子資訊,其實最後就只是把他SWAP到其他地方而已的trivial solution (笑,不可刪除定理的證明核心是量子力學的linearity(線性特質),透過處理疊加態之後就會獲得結果,絕非不可複製定理的時間反演,相信大家可以知道Wiki 是錯在哪裡了LOL

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